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SymPy 1.1.1 documentation包下载

SymPy 1.1.1 documentation包下载

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软件介绍

为您推荐:SymPy

sympy 1.1.1是Python中的计算机代数系统(CAS),SymPy是符号数学的Python库。它的目标是成为一个全功能的计算机代数系统(CAS),同时保持代码尽可能简单,以便易于理解和易于扩展。SymPy完全是用Python编写的。这取决于mpmath,而其他外部库可以选择用于绘图支持等。

SymPy 1.1.1 documentation包下载

SymPy是Python的一个数学符号计算库。它目的在于成为一个富有特色的计算机代数系统。它保证自身的代码尽可能的简单,且易于理解,容易扩展。SymPy完全由Python写成,不需要额外的库。

SymPy使用说明

先在♚亚洲城ca88_ca88亚洲城_ca88_亚洲城下载官网站下载解压:

$ tar xzf sympy-0.5.12.tar.gz

然后试着从Python中运行:

$ cd sympy-0.5.12

$ python

Python 2.4.4 (#2, Jan 3 2008, 13:36:28)

[GCC 4.2.3 20071123 (prerelease) (Debian 4.2.2-4)] on linux2

Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.

>>> from sympy import Symbol, cos

>>> x = Symbol("x")

>>> (1/cos(x)).series(x, 0, 10)

1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)

你可以使用SymPy来显示以上内容,如果你想把它应用到你的程序中,这的确是推荐的方法。你也可以用 ./setup.py来安装它,作为Python的一个模块,或者仅仅是在你喜爱的Linux上安装一个包。

在Debian中安装SymPy:省略

其他安装SymPy的方法,请咨询SymPy的下载(Downloads)网页。

isympy 控制台

对于新特性的一个实验,或者说什么时候计算,怎样计算,你可能使用我们为IPython特殊包装的,被称为isympy的一个标准的python shell,它被嵌入了sympy模块,并且定义了符号x,y,z和其它许多的东西。

例如

Python 2.4.4控制台,对于SymPy 0.5.12。命令执行如下:

$ cd sympy-0.5.12

$ bin/isympy

>>> from __future__ import division

>>> from sympy import *

>>> x, y, z = symbols(‘xyz’)

>>> k, m, n = symbols(‘kmn’, integer=True)

>>> f = Function(“f”)

文档可以在这里找到: http://sympy.org/

In [1]: (1/cos(x)).series(x, 0, 10)

Out[1]:

2 4 6 8

x 5*x 61*x 277*x

1 + ── + ──── + ───── + ────── + O(x**10)

2 24 720 8064

注解:命令被你大胆的输入。因而我们在正规python解释器中的3行命令,在isympy中1行就可以了。

把SymPy当作计算器使用

SymPy有三个内建的数子类型:实数,有理数和整数。

有理数类用两个整数来表示一个有理数。分子与分母,所以Rational(1,2)代表1/2,Rational(5,2)代表5/2,等等。

>>>from sympy import *

>>>a = Rational(1,2)

>>>a

1/2

>>>a*2

1

>>>Rational(2)**50/Rational(10)**50

1/88817841970012523233890533447265625

当利用Python的整数计算时要注意一下,Python只会截取除法的整数部分:

>>>1/2

0

>>>1.0/2

0.5

然而你可以:

>>>from __future__ import division

>>>1/2 #doctest: +SKIP

0.5

正确的除法在python3k和isympy中这样做,是标准的。

我们也可以有一些特殊的常数,像e和pi,它们会被当作符号去对待。(1+pi不会求得值,反而它会保持为1+pi),例如:

>>>pi**2

pi**2

>>>pi.evalf()

3.14159265358979

>>>(pi+exp(1)).evalf()

5.85987448204884

正如你看到的,evalf()函数可以用求出表达式的浮点数。

有一个无穷大的类型,被成为oo

>>>oo > 99999

True

>>>oo + 1

oo

Symbols函数

对比与其他的计算机代数系统,在SymPy中你不得不明确的声明符号变量:

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>y = Symbol('y')

然后你可以这样使用:

>>>x+y+x-y

2*x

>>>(x+y)**2

(x + y)**2

>>>((x+y)**2).expand()

2*x*y + x**2 + y**2

可以使用subs(old, new) 函数把数字或者符号代入(substitute)表达式:

>>>((x+y)**2).subs(x, 1)

(1 + y)**2

>>>((x+y)**2).subs(x, y)

4*y**2

代数

局部的代数式展开,使用apart(expr, x):

In [1]: 1/( (x+2)*(x+1) )

Out[1]:

1

───────────────

(2 + x)*(1 + x)

In [2]: apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x)

Out[2]:

1 1

───── - ─────

1 + x 2 + x

In [3]: (x+1)/(x-1)

Out[3]:

-(1 + x)

────────

1 - x

In [4]: apart((x+1)/(x-1), x)

Out[4]:

2

1 - ─────

1 - x

代数式的合并(相当于展开的逆运算),使用together(expr, x):

In [7]: together(1/x + 1/y + 1/z)

Out[7]:

x*y + x*z + y*z

───────────────

x*y*z

In [8]: together(apart((x+1)/(x-1), x), x)

Out[8]:

-1 - x

──────

1 - x

In [9]: together(apart(1/( (x+2)*(x+1) ), x), x)

Out[9]:

1

───────────────

(2 + x)*(1 + x)

微积分

极限

在sympy中极限容易求出,它们遵循极限语法 limit(function, variable, point) ,所以计算x->0时f(x)的极限,即limit(f, x, 0):

>>>from sympy import *

>>>x=Symbol("x")

>>>limit(sin(x)/x, x, 0)

1

>>>limit(x, x, oo)

oo

>>>limit(1/x, x, oo)

0

>>>limit(x**x, x, 0)

1

有一些特殊的极限的例子,你可以阅读文件test_demidovich.py

微分

你可以对任意SymPy表达式微分。diff(func, var)。例如:

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>diff(sin(x), x)

cos(x)

>>>diff(sin(2*x), x)

2*cos(2*x)

>>>diff(tan(x), x)

1 + tan(x)**2

你可以通过以下验证:

>>>limit((tan(x+y)-tan(x))/y, y, 0)

1 + tan(x)**2

计算高阶微分 diff(func, var, n) :

>>>diff(sin(2*x), x, 1)

2*cos(2*x)

>>>diff(sin(2*x), x, 2)

-4*sin(2*x)

>>>diff(sin(2*x), x, 3)

-8*cos(2*x)

级数展开

函数 series(var, point, order):

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>cos(x).series(x, 0, 10)

1 - x**2/2 + x**4/24 - x**6/720 + x**8/40320 + O(x**10)

>>>(1/cos(x)).series(x, 0, 10)

1 + x**2/2 + 5*x**4/24 + 61*x**6/720 + 277*x**8/8064 + O(x**10)

其他简单的例子:

from sympy import Integral, Symbol, pprint

x = Symbol("x")

y = Symbol("y")

e = 1/(x + y)

s = e.series(x, 0, 5)

print(s)

pprint(s)

执行之后打印出的结果为:

1/y + x**2*y**(-3) + x**4*y**(-5) - x*y**(-2) - x**3*y**(-4) + O(x**5)

2 4 3

1 x x x x

─ + ── + ── - ── - ── + O(x**5)

y 3 5 2 4

y y y y

积分

SymPy支持不定积分,超越函数与特殊函数的定积分。SymPy有力的扩展Risch-Norman 算法和模型匹配算法。

>>>from sympy import *

>>>x, y = symbols('xy')

初等函数:

>>>integrate(6*x**5, x)

x**6

>>>integrate(sin(x), x)

-cos(x)

>>>integrate(log(x), x)

-x + x*log(x)

>>>integrate(2*x + sinh(x), x)

cosh(x) + x**2

特殊函数:

>>>integrate(exp(-x**2)*erf(x), x)

pi**(1/2)*erf(x)**2/4

定积分:

>>>integrate(x**3, (x, -1, 1))

0

>>>integrate(sin(x), (x, 0, pi/2))

1

>>>integrate(cos(x), (x, -pi/2, pi/2))

2

一些广义积分也可以被支持:

>>>integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

1

>>>integrate(log(x), (x, 0, 1))

-1

复数

>>>from sympy import Symbol, exp, I

>>>x = Symbol("x")

>>>exp(I*x).expand()

exp(I*x)

>>>exp(I*x).expand(complex=True)

I*exp(-im(x))*sin(re(x)) + cos(re(x))*exp(-im(x))

>>>x = Symbol("x", real=True)

>>>exp(I*x).expand(complex=True)

I*sin(x) + cos(x)

函数

三角函数::

In [1]: sin(x+y).expand(trig=True)

Out[1]: cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)

In [2]: cos(x+y).expand(trig=True)

Out[2]: cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y)

In [3]: sin(I*x)

Out[3]: I*sinh(x)

In [4]: sinh(I*x)

Out[4]: I*sin(x)

In [5]: asinh(I)

Out[5]:

π*I

───

2

In [6]: asinh(I*x)

Out[6]: I*asin(x)

In [15]: sin(x).series(x, 0, 10)

Out[15]:

3 5 7 9

x x x x

x - ── + ─── - ──── + ────── + O(x**10)

6 120 5040 362880

In [16]: sinh(x).series(x, 0, 10)

Out[16]:

3 5 7 9

x x x x

x + ── + ─── + ──── + ────── + O(x**10)

6 120 5040 362880

In [17]: asin(x).series(x, 0, 10)

Out[17]:

3 5 7 9

x 3*x 5*x 35*x

x + ── + ──── + ──── + ───── + O(x**10)

6 40 112 1152

In [18]: asinh(x).series(x, 0, 10)

Out[18]:

3 5 7 9

x 3*x 5*x 35*x

x - ── + ──── - ──── + ───── + O(x**10)

6 40 112 1152

球谐函数:

In [1]: from sympy.abc import theta, phi

In [2]: Ylm(1, 0, theta, phi)

Out[2]:

————

╲╱ 3 *cos(θ)

────────────

——

2*╲╱ π

In [3]: Ylm(1, 1, theta, phi)

Out[3]:

—— I*φ

-╲╱ 6 *│sin(θ)│*ℯ

────────────────────

——

4*╲╱ π

In [4]: Ylm(2, 1, theta, phi)

Out[4]:

——— I*φ

-╲╱ 30 *│sin(θ)│*cos(θ)*ℯ

────────────────────────────

——

4*╲╱ π

阶乘和伽玛函数:

In [1]: x = Symbol("x")

In [2]: y = Symbol("y", integer=True)

In [3]: factorial(x)

Out[3]: Γ(1 + x)

In [4]: factorial(y)

Out[4]: y!

In [5]: factorial(x).series(x, 0, 3)

Out[5]:

2 2 2 2

x *EulerGamma π *x

1 - x*EulerGamma + ────────────── + ───── + O(x**3)

2 12

Zeta函数:

In [18]: zeta(4, x)

Out[18]: ζ(4, x)

In [19]: zeta(4, 1)

Out[19]:

4

π

──

90

In [20]: zeta(4, 2)

Out[20]:

4

π

-1 + ──

90

In [21]: zeta(4, 3)

Out[21]:

4

17 π

- ── + ──

16 90

多项式:

In [1]: chebyshevt(2, x)

Out[1]:

2

-1 + 2*x

In [2]: chebyshevt(4, x)

Out[2]:

2 4

1 - 8*x + 8*x

In [3]: legendre(2, x)

Out[3]:

2

3*x

-1/2 + ────

2

In [4]: legendre(8, x)

Out[4]:

2 4 6 8

35 315*x 3465*x 3003*x 6435*x

─── - ────── + ─────── - ─────── + ───────

128 32 64 32 128

In [5]: assoc_legendre(2, 1, x)

Out[5]:

—————

╱ 2

-3*x*╲╱ 1 - x

In [6]: assoc_legendre(2, 2, x)

Out[6]:

2

3 - 3*x

In [7]: hermite(3, x)

Out[7]:

3

-12*x + 8*x

微分方程

在isympy中:

In [4]: f(x).diff(x, x) + f(x) #注意在使用输入该命令之前,一定要声明f=Function('f')

Out[4]:

2

d

─────(f(x)) + f(x)

dx dx

In [5]: dsolve(f(x).diff(x, x) + f(x), f(x))

Out[5]: C₁*sin(x) + C₂*cos(x)

代数方程

在isympy中:

In [7]: solve(x**4 - 1, x)

Out[7]: [i, 1, -1, -i]

In [8]: solve([x + 5*y - 2, -3*x + 6*y - 15], [x, y])

Out[8]: {y: 1, x: -3}

线性代数

矩阵

矩阵由矩阵类创立:

>>>from sympy import Matrix

>>>Matrix([[1,0], [0,1]])

[1, 0]

[0, 1]

不只是数值矩阵,亦可为代数矩阵,即矩阵中存在符号:

>>>x = Symbol('x')

>>>y = Symbol('y')

>>>A = Matrix([[1,x], [y,1]])

>>>A

[1, x]

[y, 1]

>>>A**2

[1 + x*y, 2*x]

[ 2*y, 1 + x*y]

关于矩阵更多的例子,请看线性代数教程。

系数匹配

使用 .match()方法,引用Wild类,来执行表达式的匹配。该方法会返回一个字典。

>>>from sympy import *

>>>x = Symbol('x')

>>>p = Wild('p')

>>>(5*x**2).match(p*x**2)

{p_: 5}

>>>q = Wild('q')

>>>(x**2).match(p*x**q)

{p_: 1, q_: 2}

如果匹配不成功,则返回None:

>>>print (x+1).match(p**x)

None

可以使用Wild类的‘exclude’参数(排除参数),排除不需要和无意义的匹配结果,来保证结论中的显示是唯一的:

>>>x = Symbol('x')

>>>p = Wild('p', exclude=[1,x])

>>>print (x+1).match(x+p) # 1 is excluded

None

>>>print (x+1).match(p+1) # x is excluded

None

>>>print (x+1).match(x+2+p) # -1 is not excluded

{p_: -1}

打印输出

打印表达式有许多的方法。

标准

str(expression)返回如下:

>>>from sympy import Integral

>>>from sympy.abc import x

>>>print x**2

x**2

>>>print 1/x

1/x

>>>print Integral(x**2, x)

Integral(x**2, x)

>>>

Pretty Printing(漂亮的打印)

用pprint函数可以输出不错的ascii艺术:

>>>from sympy import Integral, pprint

>>>from sympy.abc import x

>>>pprint(x**2) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE

2

x

>>>pprint(1/x)

1

-

x

>>>pprint(Integral(x**2, x))

/

|

| 2

| x dx

|

/

更多优秀unicode输出的例子,请看Pretty Printing的Wiki。

提示:在 python解释器中,为使pretty printing为默认输出,使用:

$ python

Python 2.5.2 (r252:60911, Jun 25 2008, 17:58:32)

[GCC 4.3.1] on linux2

Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.

>>> from sympy import *

>>> import sys

>>> sys.displayhook = pprint

>>> var("x")

x

>>> x**3/3

3

x

--

3

>>> Integral(x**2, x) #doctest: +NORMALIZE_WHITESPACE

/

|

| 2

| x dx

|

/

Python printing

>>>from sympy.printing.python import python

>>>from sympy import Integral

>>>from sympy.abc import x

>>>print python(x**2)

x = Symbol('x')

e = x**2

>>>print python(1/x)

x = Symbol('x')

e = 1/x

>>>print python(Integral(x**2, x))

x = Symbol('x')

e = Integral(x**2, x)

LaTeX printing

>>>from sympy import Integral, latex

>>>from sympy.abc import x

>>>latex(x**2)

$x^{2}$

>>>latex(1/x)

$\frac{1}{x}$

>>>latex(Integral(x**2, x))

$\int x^{2}\,dx$

>>>

MathML

>>>from sympy.printing.mathml import mathml

>>>from sympy import Integral, latex

>>>from sympy.abc import x

>>>print mathml(x**2)

x2

>>>print mathml(1/x)

x-1

Pyglet

>>>from sympy import Integral, preview

>>>from sympy.abc import x

>>>preview(Integral(x**2, x)) #doctest:+SKIP

用a pyglet window以LaTeX 提供表达式,可以弹出如下窗口:

注解

Isympy默认调用pprint,所以这就是为什么看到pretty printing为默认的。

有一个打印的有效模块,sympy.printing。用这个模块实现其他的打印:

· pretty(expr), pretty_print(expr), pprint(expr): 分别返回或者输出,,表达式的漂亮描述。这是相同

·latex(expr), print_latex(expr):分别返回或者输出,LaTex描写的表达式

·mathml(expr), print_mathml(expr):分别返回或者输出,MathML描写的表达式

·print_gtk(expr): 表达式打印到Gtkmathview , 这是一个GTK小配件显示MathML代码。Gtkmathview程序是必须的。

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